Delta Diraca – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka teoretycznego Paula Diraca. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a i pochodną (w sensie dystrybucji) funkcji skokowej Heaviside’a. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako miarę, lub jako dystrybucję.
Definicje
Definicja nieformalna Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję taką, że:
oraz .
W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją całka z takiej funkcji musiałaby być równa 0 (np. całka Lebesgue’a – punkt x=0 jest zbiorem miary Lebesgue’a równym 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0). Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna w ramach teorii zwykłych funkcji.
Delta Diraca jako dystrybucja Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako dystrybucję tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem: .
Delta Diraca jako miara Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako miarę daną wzorem:
gdzie oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w .
Własności delty Diraca Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca. Całkę funkcji względem miary po zbiorze oznacza się często , dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie na całkę funkcji względem delty Diraca po
Delta Diraca ma następujące własności:
Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.
Krok I
Gdy jest funkcją prostą, tzn. to bez straty ogólności możemy założyć, że Wtedy
Krok II
Gdy jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych Wtedy korzystając z poprzedniego kroku
Krok III
Gdy jest dowolną funkcją mierzalną, to gdzie
oraz
Wówczas, korzystając z poprzedniego kroku
co kończy dowód.
W szczególności kładąc otrzymuje się
Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę daną wzorem
Wówczas
Zastosowania W rachunku prawdopodobieństwa delta Diraca jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej takiej, że .
Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.
Zobacz też funkcja grzebieniowa
Przypisy
Kategoria:Analiza funkcjonalna Kategoria:Fizyka matematyczna Kategoria:Mechanika kwantowa Kategoria:Transmisja danych Kategoria:Rozkłady prawdopodobieństwa Kategoria:Paul Dirac