mały|Przykład izometrii: obrót jako złożenie dwóch odbić.

Izometria (gr. isos – równy, métron – miara), także przekształcenie izometryczne – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. Jest to więc izomorfizm izometryczny. W geometrii figury, między którymi istnieje izometria (są izometryczne), nazywane są przystającymi.

Geometria euklidesowa

Przekształcenie płaszczyzny euklidesowej lub przestrzeni euklidesowej nazywa się izometrią, jeżeli zachowuje odległość dowolnych dwóch jej punktów tzn.

gdzie oznacza obraz punktu

Każde dwa przystające odcinki są równej długości, a każde dwa przystające kąty są jednakowej rozwartości (i na odwrót: równość odcinków i miar kątów oznacza, że są one przystające). Podobnie ma się rzecz z okręgami o równych promieniach. Dowolne dwie proste i półproste są przystające. Izometrie zachowują także współliniowość punktów i ich kolejność na prostej. Więcej o przystawaniu trójkątów można znaleźć w artykule dot. przystawania. Przystawanie wielokątów opisuje się dzieląc je na trójkąty. Ważnym niezmiennikiem izometrii jest pole i objętość figury geometrycznej.

Izometria przestrzeni euklidesowej, która jest przekształceniem liniowym jest też przekształceniem ortogonalnym.

Parzystość Pojęcie parzystości izometrii jest blisko związane z pojęciem orientacji. Na prostej można wyróżnić dwa „kierunki”, mianowicie w „lewo” i w „prawo”. Jest to dość intuicyjne: na płaszczyźnie należy wziąć pod uwagę trójkąt – jego wierzchołki można opisać od „zgodnie z ruchem wskazówek zegara” lub na odwrót. W przestrzeni, co może być zaskakujące, również wyróżnia się tylko dwie orientacje: „prawoskrętną” i „lewoskrętną” (więcej, w każdej przestrzeni euklidesowej wyróżnia się dokładnie dwie orientacje). Ponieważ każda przestrzeń euklidesowa ma bazę kanoniczną, to właśnie orientację zgodną z nią nazywa się dodatnią, a niezgodną – ujemną (przyjęło się określać dodatnimi orientacje: „w prawo”, „przeciwnie do ruchu wskazówek zegara” oraz „prawoskrętną”).

Na płaszczyźnie każda symetria osiowa zmienia orientację. Izometrię płaszczyzny można przedstawić jako złożenie co najwyżej trzech symetrii osiowych. Nieparzysta liczba symetrii w tej postaci powoduje zmianę orientacji – takie izometrie nazywa się nieparzystymi. Jeżeli daną izometrię da się przedstawić jako złożenie parzystej (lub zerowej) liczby symetrii – taka izometria nie zmienia orientacji – to nazywa się ją parzystą.

Podobnie ma się rzecz z izometriami przestrzeni trójwymiarowej – każdą z nich można przedstawić w postaci złożenia co najwyżej czterech symetrii płaszczyznowych, które zmieniają orientację przestrzeni. Te, które można przedstawić jako złożenie nieparzystej liczby symetrii nazywa się nieparzystymi, pozostałe zaś – parzystymi.

Algebraicznie można opisać jak następuje. Wyznacznik izometrii (macierzy przekształcenia izometrycznego) jest równy bądź Te, które mają wyznacznik równy zachowują orientację, a więc są parzyste, te które mają wyznacznik równy zmieniają orientację, czyli są nieparzyste. Wówczas jest homomorfizmem grupy izometrii w grupę dwuelementową. Jądrem tego przekształcenia są izometrie parzyste i jako takie tworzą podgrupę normalną w grupie izometrii. Ponieważ identyczność jest parzysta, to izometrie nieparzyste nie stanowią grupy, generują one jednak całą grupę izometrii.

Klasyfikacja izometrii Prosta Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje izometrii: parzyste tożsamość, przesunięcie (translacja); nieparzyste symetria środkowa.

Płaszczyzna Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje izometrii: parzyste tożsamość, przesunięcie (translacja), symetria środkowa, obrót wokół punktu; nieparzyste symetria osiowa, symetria z poślizgiem (o wektor niezerowy).

Przestrzeń trójwymiarowa W przestrzeni wyróżnia się następujące rodzaje izometrii: parzyste tożsamość, przesunięcie (translacja), symetria osiowa, symetria osiowa z poślizgiem, obrót wokół prostej, ruch śrubowy (obrót wokół prostej z przesunięciem); nieparzyste symetria płaszczyznowa, symetria płaszczyznowa z poślizgiem (o wektor niezerowy), symetria środkowa, symetria obrotowa (obrót wokół prostej z symetrią).

Przestrzenie metryczne Niech i będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie nazywa się izometrią (bądź odwzorowaniem zachowującym odległość), jeżeli dla dowolnych spełniony jest warunek

Odwzorowanie zachowujące odległość jest koniecznie iniektywne (różnowartościowe) oraz ciągłe. Każda izometria przestrzeni metrycznych jest zanurzeniem homeomorficznym.

Przestrzenie metryczne X i Y nazywa się izometrycznymi, jeżeli istnieje izometria z X na Y. Zbiór izometrii przestrzeni metrycznej w siebie jest grupą względem składania przekształceń nazywana grupą izometrii będącą podgrupą grupy wszystkich bijekcji danej przestrzeni metrycznej w siebie.

Każda przestrzeń metryczna jest izometryczna z gęstym podzbiorem zupełnej przestrzeni metrycznej.

Przykłady Przekształcenie identycznościowe przestrzeni metrycznej w siebie jest izometrią. Dowolne odbicie, przesunięcie i obrót są izometriami globalnymi przestrzeni euklidesowych. Zob. grupa euklidesowa. Izometryczne przekształcenia liniowe w siebie opisywane są przez macierze unitarne. Izometryczny, suriektywny operator liniowy na przestrzeni Hilberta jest nazywany operatorem unitarnym. W przestrzeni euklidesowej przekształcenie określone wzorem

jest izometrią. Przekształcenie przestrzeni ℓ1 w siebie określone wzorem

jest izometrią, lecz nie jest surjekcją.

Izometrie liniowe Dla danych dwóch przestrzeni unormowanych oraz izometrią liniową nazywa się takie przekształcenie liniowe które zachowuje normę:

dla wszystkich Izometrie liniowe są przekształceniami zachowującymi odległości w powyższym sensie. Są one izometriami globalnymi wtedy i tylko wtedy, gdy są suriekcjami.

Z twierdzenia Mazura-Ulama wynika, że dowolna izometria między przestrzeniami unormowanymi nad jest przekształceniem afinicznym.

Uogólnienia Dla ustalonej dodatniej liczby rzeczywistej odwzorowanie przestrzeni metrycznych nazywa się -izometrią (lub aproksymacją Hausdorffa), jeżeli dla zachodzi oraz dla każdego istnieje punkt że

Innymi słowy -izometria zachowuje odległości wewnątrz i nie pozostawia żadnego elementu przeciwdziedziny w odległości większej niż od obrazu elementu dziedziny. Uwaga: od -izometrii nie wymaga się, by były ciągłe.

Innym użytecznym uogólnieniem jest quasi-izometria.

Twierdzenie Beckmana-Quarlesa Twierdzenie Beckmana-Quarlesa mówi, że dowolne przekształcenie przestrzeni euklidesowej wymiaru co najmniej dwa w siebie, które zachowuje własność bycia w odległości jednostkowej musi być izometriąJacek Chmieliński „Wybrane zagadnienia analizy funkcjonalnej”, wykład monograficzny dla V roku matematyki, data 2005/2006, s. 10..

Zobacz też rzut izometryczny

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

[dostęp 2023-08-26]. Isometric mapping , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].