Rachunek różniczkowy i rachunek całkowy – mocno powiązane ze sobą działy analizy matematycznej poświęcone badaniu ciągłych zmian funkcji oraz sumowaniu nieskończenie małych wartości funkcji. Rachunek różniczkowy skupia się na pochodnych funkcji, zaś rachunek całkowy jest poświęcony badaniu i obliczaniu całek. Te dwa działy łączy podstawowe twierdzenie rachunku całkowego głoszące, że różniczkowanie i całkowanie to operacje odwrotne.
Twórcami rachunku różniczkowego i całkowego we współczesnym rozumieniu są Gottfried Wilhelm Leibniz oraz Isaac Newton, którzy niezależnie opisali jego zasady w XVII wieku. Jako matematyczna podstawa, jest powszechnie wykorzystywany m.in. w inżynierii, fizyce, chemii, biologii, ekonomii i innych działach matematyki.
Rachunek różniczkowy Rachunek różniczkowy to dział matematyki polegający na obliczaniu, badaniu własności i zastosowań pochodnych funkcji. Proces wyznaczania pochodnej nazywamy różniczkowaniem. Jeśli dana jest funkcja i , to stosunek nazywamy ilorazem różnicowym. Można go interpretować geometrycznie jako tangens kąta między sieczną przechodzącą przez punkty i a osią . W tej sytuacji, , gdzie to pochodna funkcji. Pochodną można obliczyć równoważnym wzorem . Jeśli ta granica jest możliwa to wyznaczenia, to funkcję nazywamy różniczkowalną. Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to jest też w tym punkcie ciągła. Twierdzenie to działa jednostronnie. Nie każda funkcja ciągła w danym punkcie, jest też w nim różniczkowalna.
Różniczką funkcji nazywamy nieskończenie małą zmianę wartości funkcji w punkcie.
Rachunek całkowy Istotą rachunku całkowego jest proces obliczania całek. Pojęcie całki obejmuje dwa silnie powiązane ze sobą tematy: całka nieoznaczona oraz całka oznaczona.
Całką nieoznaczoną określa się zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji. Dana jest funkcja różniczkowalna oraz funkcja , która jest pochodną , tzn. . W tej sytuacji funkcję nazywamy funkcją pierowotną funkcji . Jednakże jest także pochodną dowolnej funkcji , gdzie stanowi dowolną stałą wartość. Przykładowo funkcja jest pochodną funkcji , ale także jest pochodną funkcji , , itp. Ogólnie: jest pochodną dowolnej funkcji , gdzie to wartość stała. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych nazywamy całką nieoznaczoną i zapisuje się ją jako (część oznacza, że jest tutaj zmienną; ten zapis jest szczególnie istotny, gdy funkcja zawiera też parametr, np. , gdyż jest tu zmienną, zaś parametrem). Ogólnie: Jeśli , to . mały|Przybliżenia pola pod wykresem za pomocą prostokątów mały|Całka oznaczona jako pole zamalowanego regionu pod krzywą. Z obliczaniem całki nieoznaczonej powiązane jest pojęcie całki oznaczonej. Odnosi się ono do sposobu liczenia pól pod wykresem. Chcąc obliczyć pole na przedziale , można go podzielić na mniejszych przedziałów, których granice stanowią punkty , tak że . Dla każdego z tych przedziałów można wyrysować prostokąt, którego wysokość określamy w sposób umowny (np. najmniejsza wartość w danym przedziale, wartość na początku lub końcu przedziału). Wysokości tych prostokątów można oznaczyć jako . Łączne pole tych prostokątów wynosi wtedy . Takie przybliżanie ma sens, gdy wszystkie wartości funkcji są nieujemne. W przeciwnym razie, odchodzi się od interpretacji ściśle geometrycznej i wysokość oraz pola prostokątów traktuje się jak liczby ujemne. Sumę pól takich prostokątów można zapisać także jako , gdzie to liczba wydzielonych przedziałów, to wartości przyporządkowane dla kolejnych przedziałów (geometrycznie interpretowane jako wysokości prostokątów), a to długości kolejnych przedziałów. W ten sposób całkę oznaczoną można zdefiniować następująco: . Geometrycznie można zinterpretować to jako pole pod wykresem (jeśli na danym przedziale wartości funkcji są ujemne, to pole traktujemy jako liczbę ujemną). Ponieważ wynikiem tej całki jest liczba, zatem nie ma znaczenia użyta zmienna, tj. , itp.
Zgodnie z pierwszą częścią podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, jeśli funkcja jest ciągła na przedziale i , to funkcja jest ciągła na przedziale , różniczkowalna na przedziale oraz .
Związek między całką nieoznaczoną, a całką oznaczoną jest następujący: Jeśli , to . Jest to druga część podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.
Historia
Przypisy
Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy