Równanie Wheelera-DeWitta – formalne równanie fizyki teoretycznej występujące w kanonicznym podejściu do grawitacji kwantowej, czyli w próbach połączenia mechaniki kwantowej z ogólną teorią względności. Ma opisywać kwantowy stan geometrii przestrzennej i materii, a więc sytuację, w której sama geometria nie jest z góry ustalonym tłem, lecz częścią układu kwantowego. Nazwa upamiętnia Johna Archibalda Wheelera oraz Bryce’a DeWitta; równanie wiąże się zwłaszcza z pracą DeWitta z 1967 roku, a w literaturze historycznej pojawiały się także wcześniejsze lub alternatywne określenia, takie jak równanie Einsteina–Schrödingera.
Ściślej, w kanonicznej grawitacji kwantowej równanie nakłada warunek na funkcjonał falowy trójmetryki, czyli metryki przestrzennej, i pól materii. Jest kwantowym odpowiednikiem klasycznego w ogólnej teorii względności (warunku, zgodnie z którym odpowiednie wyrażenie hamiltonowskie ma wartość zero dla dopuszczalnych danych fizycznych, zamiast pełnić rolę zwykłego hamiltonianu generującego ewolucję w zewnętrznym czasie) i w skrótowej postaci zapisuje się je jako .
Jedną z najczęściej podkreślanych cech równania Wheelera-DeWitta jest to, że nie zawiera zwykłego zewnętrznego parametru czasu. W odróżnieniu od równania Schrödingera nie opisuje ono ewolucji stanu względem czasu, lecz wybiera dopuszczalne stany kwantowe całego układu grawitacyjnego. Z tego powodu stanowi jedno z głównych sformułowań tak zwanego problemu czasu w grawitacji kwantowej.
Równanie nie jest kompletną, powszechnie przyjętą teorią kwantowej grawitacji. Pełni jednak rolę ważnego narzędzia pojęciowego w kosmologii kwantowej, w dyskusjach o funkcji falowej Wszechświata, w przybliżeniach półklasycznych oraz w porównywaniu różnych programów kwantowania grawitacji.
Tło kanoniczne W kanonicznym opisie ogólnej teorii względności czasoprzestrzeń rozkłada się na trójwymiarowe przekroje przestrzenne uporządkowane parametrem czasu. Zmiennymi dynamicznymi są metryka przestrzenna oraz sprzężone z nią pędy, a swoboda wyboru współrzędnych prowadzi do więzów zamiast zwykłego hamiltonianu ewolucji. Klasyczne równania nie mówią więc tylko, jak dane początkowe mają się zmieniać; narzucają również warunki, które muszą spełniać dopuszczalne konfiguracje geometrii i materii.
Najważniejszy dla równania Wheelera-DeWitta jest więz hamiltonowski. W bardzo uproszczonym zapisie ma on postać
a po kwantowaniu przechodzi w warunek operatorowy nakładany na stan fizyczny. Obok niego występują więzy związane z niezmienniczością względem przekształceń przestrzennych. Razem wyrażają one fakt, że w ogólnie kowariantnej teorii grawitacji wiele pozornych zmian opisu jest zmianą współrzędnych, a nie zmianą fizycznego stanu układu.
Postać równania Po przejściu od zmiennych klasycznych do operatorów równanie Wheelera-DeWitta można zapisać symbolicznie jako
gdzie jest funkcjonałem falowym trójmetryki oraz pól materii . Funkcjonał ten bywa nieformalnie nazywany funkcją falową Wszechświata, ponieważ w kosmologicznych zastosowaniach opisuje nie cząstkę w danej przestrzeni, lecz całą geometrię przestrzenną wraz z jej zawartością fizyczną.
W wersji bez pól materii, przy pominięciu stałej kosmologicznej, w jednostkach z i bez wszystkich subtelności regularyzacyjnych równanie przyjmuje formalnie postać
gdzie oznacza metrykę DeWitta na przestrzeni metryk przestrzennych, jest skalarem krzywizny trójwymiarowego przekroju, a jest stałą grawitacji. Różne konwencje prowadzą do odmiennych czynników liczbowych, znaków i postaci członu materii, dlatego w literaturze często podaje się jedynie strukturę równania, a nie jedną uniwersalną formułę.
Interpretacja fizyczna W zwykłej mechanice kwantowej hamiltonian generuje ewolucję stanu w czasie. W równaniu Wheelera-DeWitta hamiltonian pełni inną rolę: jest więzem, którego jądro ma wyznaczać fizycznie dopuszczalne stany. Stan nie jest więc funkcją falową cząstki poruszającej się w już danej czasoprzestrzeni, lecz obiektem mającym opisywać możliwe geometrie i pola przed założeniem klasycznego tła czasoprzestrzennego.
Taka interpretacja jest zarazem źródłem trudności. Skoro równanie nie zawiera parametru , nie wyjaśnia bezpośrednio, dlaczego obserwatorzy wewnątrz Wszechświata doświadczają uporządkowanej zmiany i następstwa zdarzeń. W literaturze próbuje się odzyskiwać czas przez wybór zmiennej wewnętrznej, przez korelacje między stopniami swobody, przez przybliżenia półklasyczne albo przez relacyjne ujęcie obserwabli. Nie istnieje jednak jedno powszechnie przyjęte rozwiązanie całego problemu czasu.
Problem czasu Równanie Wheelera-DeWitta pokazuje problem czasu w jednej z najostrzejszych postaci. W standardowej mechanice kwantowej czas jest zewnętrznym parametrem, natomiast w ogólnej teorii względności jest częścią dynamicznej geometrii. Po kwantowaniu pełnej geometrii nie pozostaje już oczywisty zewnętrzny zegar, względem którego miałaby zachodzić ewolucja stanu całego Wszechświata.
Ten aspekt nazywa się często problemem „zamrożonego formalizmu”. Nie oznacza on prostego twierdzenia, że w świecie nic się nie dzieje, lecz że podstawowe równanie kanoniczne nie ma formy zwykłej ewolucji czasowej. Zmiana musi zostać odtworzona jako własność opisu efektywnego, jako relacja między obserwablami albo jako wynik przybliżenia, w którym część stopni swobody geometrii zachowuje się klasycznie i może pełnić funkcję zegara.
W przybliżeniach typu WKB lub Born-Oppenheimer ciężkie stopnie swobody grawitacyjne traktuje się półklasycznie, a lżejsze pola materii opisuje na ich tle równaniem przypominającym równanie Schrödingera. Takie podejście jest użyteczne w kosmologii kwantowej, ale ma charakter przybliżony: pokazuje, jak czas może pojawić się w pewnym reżimie, nie zaś dlaczego czas jest fundamentalnie dany.
Kosmologia kwantowa i modele minisuperspace Pełne równanie Wheelera-DeWitta jest równaniem funkcyjnym na nieskończenie wymiarowej przestrzeni geometrii, dlatego w praktyce często bada się jego drastycznie uproszczone wersje. W modelach określanych jako minisuperspace zakłada się symetrię kosmologiczną i pozostawia tylko kilka zmiennych, na przykład współczynnik skali Wszechświata, krzywiznę przestrzenną oraz jednorodne pole materii. Funkcjonał falowy redukuje się wtedy do zwykłej funkcji niewielu zmiennych, a równanie staje się formalnie podobne do równania kwantowo-mechanicznego z osobliwym wyborem zmiennej czasowej.
W tym kontekście rozważano między innymi propozycję Hartle’a i Hawkinga, w której funkcja falowa Wszechświata jest wiązana z euklidesową całką po geometriach bez brzegu, oraz propozycję tunelowania Vilenkina, interpretującą początek klasycznego Wszechświata jako przejście kwantowe. Równanie Wheelera-DeWitta dostarcza wspólnego języka dla tego rodzaju modeli, choć same warunki brzegowe i ich interpretacje pozostają przedmiotem sporów.
Uproszczenia minisuperspace nie rozwiązują wszystkich problemów pełnej teorii. Usuwają większość lokalnych stopni swobody i zwykle zakładają już z góry wysoki poziom symetrii, dlatego wyniki należy traktować jako modele pojęciowe lub testy metod, a nie bezpośredni opis pełnej kwantowej czasoprzestrzeni.
Trudności matematyczne Równanie Wheelera-DeWitta jest formalne również z powodów matematycznych. Iloczyny operatorów różniczkowania funkcyjnego w tym samym punkcie wymagają regularyzacji, a kolejność operatorów po kwantowaniu nie jest jednoznaczna. Dodatkowo trzeba określić odpowiednią przestrzeń stanów, iloczyn skalarny i warunki, które pozwolą odróżnić rozwiązania fizyczne od artefaktów wybranego zapisu.
Problemem jest także tak zwany problem obserwabli: w teorii ogólnie kowariantnej wielkości fizyczne powinny być niezmiennicze względem przekształceń cechowania, ale takie obserwable są trudne do jawnego skonstruowania w pełnej grawitacji. W rezultacie równanie Wheelera-DeWitta jest często traktowane jako punkt wyjścia i test spójności idei, a nie jako samowystarczalne narzędzie obliczeniowe dla ogólnej kwantowej grawitacji.
Wersje dyskretne i relacje z innymi programami Choć równanie powstało w kanonicznym ujęciu metrycznym, jego idee powracają w innych podejściach do grawitacji kwantowej. W pętlowej grawitacji kwantowej podobną rolę pełni kwantowy warunek hamiltonowski nakładany na stany geometryczne; w kosmologii pętlowej prowadzi to do równań różnicowych zamiast klasycznego równania różniczkowego. Takie modele zachowują część intuicji Wheelera-DeWitta, ale zmieniają matematyczną strukturę operatorów i sposób traktowania dyskretności geometrii.
Badano również dyskretne wersje równania w formalizmach siatkowych i pokrewnych konstrukcjach. Przykładem jest dyskretne równanie Wheelera-DeWitta w podejściach zbliżonych do , gdzie przestrzeń geometrii zastępuje się skończonym lub przeliczalnym zbiorem zmiennych geometrycznych. Takie prace nie zastępują pełnej teorii, ale pokazują, jak problem więzu hamiltonowskiego może wyglądać po wprowadzeniu dyskretnego opisu geometrii.
Znaczenie i status Równanie Wheelera-DeWitta pozostaje jednym z najbardziej rozpoznawalnych symboli programu kanonicznej grawitacji kwantowej. Jego znaczenie polega mniej na dostarczaniu gotowych przewidywań obserwacyjnych, a bardziej na ujawnieniu, jakie warunki musiałaby spełniać teoria kwantowej czasoprzestrzeni pozbawiona klasycznego tła. W szczególności równanie wymusza jednoczesne potraktowanie geometrii, materii, czasu i obserwabli jako części jednego problemu.
Współczesne badania nad grawitacją kwantową obejmują wiele konkurencyjnych metod, w tym teorię strun, pętlową grawitację kwantową, sumowanie po historiach, podejścia dyskretne i kosmologię kwantową. Równanie Wheelera-DeWitta nie rozstrzyga między nimi, ale stanowi wspólny punkt odniesienia dla pytań o kwantowy stan geometrii, granicę klasyczną i wyłanianie się czasu.
Zobacz też
grawitacja kwantowa ogólna teoria względności mechanika kwantowa równanie Schrödingera teoria strun pętlowa grawitacja kwantowa
Przypisy
Kategoria:Grawitacja kwantowa Kategoria:Równania w fizyce Kategoria:Fizyka teoretyczna