Nierówność Karamaty – nierówność w matematyce nazwana od jugosłowiańskiego matematyka .
Treść twierdzenia
Definicje wstępne Niech dane będą dwa ciągi liczb rzeczywistych . Jeśli są one nierosnące, a ponadto zachodzą nierówności dla oraz równość , to powiemy, że ciąg majoryzuje ciąg i będziemy ten fakt oznaczali symbolem
Nierówność Karamaty Niech będzie funkcją wypukłą, , a ponadto . Wówczas zachodzi nierówność
Dowód Lemat: Jeśli jest funkcją wypukłą, to dla należących do jej dziedziny zachodzą nierówności
Dowód lematu:
Ponieważ jest funkcją wypukłą, więc z nierówności Jensena zachodzi
co po obustronnym przemnożeniu przez można doprowadzić do postaci
która jest równoważna nierówności
Lewą nierówność udowadniamy analogicznie, przez sprowadzenie początkowej nierówności do postaci
Dowód właściwego twierdzenia:
Bez straty ogólności możemy założyć, że dla . W przeciwnym razie bowiem wystarczyłoby stronami odjąć wyrażenia i . Wprowadźmy oznaczenia oraz Korzystając z przekształcenia Abela otrzymujemy
W takim razie ponieważ na mocy lematu a ponadto , gdyż więc wszystkie składniki prawej strony są dodatnie.
Bibliografia
Kategoria:Nierówności w analizie matematycznej