mały|250px|Aperiodyczny parkietaż płytką typu „Tile(1,1)”, należącą do rodziny „widm”; kolory oznaczają orientację płytki modulo 60 stopni.
W geometrii płaszczyzny problem einsteina dotyczy istnienia pojedynczej płytki, która może pokryć całą płaszczyznę euklidesową bez szczelin i nakładania, ale wyłącznie w sposób nieokresowy. Taki kształt bywa nazywany einsteinem, co stanowi grę słów od niemieckiego ein Stein, czyli „jeden kamień”. W zależności od przyjętej definicji nieokresowości oraz od tego, czy dopuszcza się dodatkowe reguły dopasowania, problem przez dziesięciolecia pozostawał albo nierozwiązany, albo miał jedynie częściowe rozwiązania. Najbardziej rygorystyczny wariant problemu, dotyczący pojedynczej dwuwymiarowej płytki bez dodatkowych reguł dopasowania, uznaje się za rozwiązany od 2023 roku. Problem einsteina bywa traktowany jako naturalne rozszerzenie drugiej części osiemnastego problemu Hilberta, dotyczącej pojedynczego wielościanu wypełniającego trójwymiarową przestrzeń euklidesową tak, by żaden otrzymany z niego parkietaż nie był izoedryczny. Już w 1928 Karl Reinhardt skonstruował płytki anizoedryczne, ale wszystkie dawały także parkietaże okresowe.
Częściowe rozwiązania mały|lewo|180px|Kafelek Socolara-Taylora był ważnym krokiem w stronę rozwiązania problemu, ale wymaga dodatkowych założeń co do dopasowania lub spójności. W 1988 roku Peter Schmitt skonstruował pojedynczą aperiodyczną płytkę w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Żaden parkietaż otrzymany z tej bryły nie ma symetrii translacyjnej, ale część takich struktur ma symetrię śrubową. Taka symetria łączy przesunięcie z obrotem o niewymierną wielokrotność liczby π, więc żadne skończone powtórzenie tej operacji nie prowadzi do czystej translacji. John Horton Conway i Ludwig Danzer rozszerzyli później tę konstrukcję na wypukły kafelek Schmitta-Conwaya-Danzera. Obecność symetrii śrubowej skłoniła badaczy do doprecyzowania pojęcia aperiodyczności i do rozróżnienia między wersją słabą a silną; w tej drugiej wyklucza się także nieskończone cykliczne grupy izometrii euklidesowych, nie tylko zwykłe translacje.
W 1996 roku Petra Gummelt pokazała, że pojedynczy dziesięciokątny kafelek może pokrywać płaszczyznę nieokresowo, jeśli dopuści się dwa określone typy nakładania sąsiednich kopii. Taka konstrukcja nie jest jednak zwykle uznawana za rozwiązanie problemu einsteina w jego klasycznej postaci, ponieważ nie daje parkietażu bez zachodzenia elementów na siebie.
W 2010 roku Joshua Socolar i Joan Taylor opisali , czyli pojedynczy kształt wymuszający dzięki dodatkowym regułom dopasowania odnoszącym się do oznaczeń na powierzchni płytki. Reguły te mogą dotyczyć także par płytek, które nie są bezpośrednimi sąsiadami. Bez takich reguł można skonstruować wersję nieozdobioną, ale nie jest ona spójna. Istnieje też wariant trójwymiarowy bez reguł dopasowania, już spójny, lecz dopuszczający parkietaże okresowe w jednym kierunku, a więc jedynie słabo aperiodyczny; ponadto nie jest on jednospójny.
Kapelusz i widmo mały|220px|Jedna z nieskończonej rodziny aperiodycznych monopłytek opisanych przez Smitha, Myersa, Kaplana i Goodmana-Straussa. Żółte elementy są odbiciami lustrzanymi niebieskich.
W listopadzie 2022 roku David Smith odkrył trzynastoboczny kształt nazwany później „kapeluszem”, złożony z ośmiu deltoidalnych elementów sklejonych krawędziami. W marcu 2023 roku Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan i Chaim Goodman-Strauss ogłosili dowód, że „kapelusz” wraz ze swoim lustrzanym odbiciem tworzy aperiodyczny prototyp wypełniający płaszczyznę, a zarazem należy do całej nieskończonej rodziny podobnych monopłytek. Odkrycie to zostało szeroko opisane także w źródłach popularnonaukowych po polsku.
W 2024 roku ci sami autorzy opublikowali pracę o spokrewnionej rodzinie kształtów nazwanych „widmami” (). Są to ściśle chiralne aperiodyczne monopłytki, które mogą pokrywać płaszczyznę wyłącznie za pomocą przesunięć i obrotów, bez użycia odbić lustrzanych. Co więcej, w żadnym takim parkietażu nie pojawiają się jednocześnie obie chiralności płytki, więc także po dopuszczeniu odbić lustrzanych „widmo” pozostaje rozwiązaniem ściśle aperiodycznym. W praktyce oznacza to, że po ogłoszeniu „kapelusza” pojawiły się jeszcze bardziej rygorystyczne warianty rozwiązania problemu einsteina.
Zastosowania Odkrycie „kapelusza” szybko zwróciło uwagę fizyków materii skondensowanej. W 2024 roku opisano model dwuwymiarowego materiału opartego na parkietażu tą płytką, wykazującego jednocześnie cechy kwazikryształu, chiralność i własności przypominające grafen. Badano także zastosowania inżynieryjne takich parkietaży, między innymi w strukturach typu plaster miodu o zerowym współczynniku Poissona oraz w materiałach kompozytowych o zwiększonej sztywności i odporności na pękanie. Z punktu widzenia mechaniki materiałów interesująca okazała się również nieskończona rodzina kształtów spokrewnionych z „kapeluszem”, ponieważ ciągła zmiana ich geometrii może prowadzić do ciągle przestrajalnych własności mechanicznych, w tym do płynnie zmiennego współczynnika Poissona w strukturach typu plaster miodu.
Popularyzacja Odkrycie płytek typu „hat” i „spectre” szybko trafiło do popularyzacji matematyki oraz sztuki. W 2023 National Museum of Mathematics i United Kingdom Mathematics Trust zorganizowały konkurs Einstein Mad Hat Awards na artystyczne interpretacje tych parkietaży, z nagrodami o łącznej wartości 20 000 dolarów. Laureatów z Wielkiej Brytanii i z zagranicy uhonorowano następnie podczas finału 12 grudnia 2023 w brytyjskiej Izbie Gmin.
Zobacz też parkietaż Penrose’a
teselacja
Przypisy
Linki zewnętrzne An aperiodic monotile, strona projektu Craiga S. Kaplana i współautorów A New Tile in Newtyle, odcinek Numberphile o odkryciu „kapelusza”
Kategoria:Geometria dyskretna Kategoria:Matematyka dyskretna