Słaba homotopijna równoważność – odwzorowanie ciągłe między przestrzeniami topologicznymi indukujące izomorfizm grup homotopii.
Formalna definicja Niech będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe nazywa się słabą homotopijną równoważnością, jeżeli indukuje bijekcję między składowymi łukowymi przestrzeni i przestrzeni oraz dla wszystkich homomorfizm indukowany jest izomorfizmem, gdzie oznacza -tą grupę homotopii zaczepioną w punkcie .
Własności Każda homotopijna równoważność jest słabą homotopijną równoważnością. Złożenie słabych homotopijnych równoważności jest słabą homotopijną równoważnością. Słaba homotopijna równoważność między CW-kompleksami jest homotopijną równoważnością. Jest to treść twierdzenia Whiteheada. Przekształcenie homotopijne ze słabą homotopijną równoważnością jest słabą homotopiją równoważnością. Z istnienia słabej homotopopijnej równoważności nie wynika istnienie słabej homotopijnej równoważności .
Przykłady Jeżeli przestrzenie oraz są ściągalne, to każde odwzorowanie jest słabą homotopijną równoważnością. Niech oraz Para jest skończoną przestrzenią topologiczną mającą dwa zbiory jednopunktowe otwarte i dwa domknięte. Jeżeli na sferze wybierzemy dwa różne punkty to jest sumą dwu rozłącznych zbiorów otwartych Każde przekształcenie takie, że jest słabą homotopijną równoważnością. Warto zauważyć, że dowolne odwzorowanie ciągłe musi być stałe, w szczególności nie istnieje słaba homotopijna równoważność Ogólniej, dla każdego kompleksu symplicjalnego istnieje -przestrzeń Aleksandrowa (skończona, gdy jest skończony) oraz słaba homotopijna równoważność .
Przypisy
Kategoria:Teoria homotopii