Metryka Lévy’ego-Prochorowa – metryka określona na rodzinie miar probabilistycznych w przestrzeni metrycznej. Została wprowadzona w 1956 r. przez sowieckiego matematyka Jurija Prochorowa jako uogólnienie metryki Lévy’ego.
Definicja Niech będzie przestrzenią metryczną z σ-ciałem zbiorów borelowskich Ponadto niech będzie rodziną wszystkich miar probabilistycznych określonych na przestrzeni mierzalnej
Dla podzbioru zdefiniujmy epsilonowe otoczenie zbioru
gdzie jest kulą otwartą wokół o promieniu
Metryka Lévy’ego-Prochorowa to odległość pomiędzy dwoma miarami probabilistycznymi i na zdefiniowana jako
Jasne jest, że dla miar probabilistycznych zachodzi
Niektórzy autorzy opuszczają jedną z dwóch nierówności lub wybierają jedynie otwarty lub domknięty zbiór Jedna z nierówności implikuje drugą, a ale ograniczenie się jedynie do zbiorów otwartych może zmienić zdefiniowaną metrykę, jeśli nie jest przestrzenią polską.
Własności Jeśli jest przestrzenią ośrodkową, zbieżność miar w metryce Lévy’ego-Prochorowa jest równoważna słabej zbieżności miar. Zatem w tym przypadku z topologią słabej zbieżności jest metryzowalna, a metryką tą jest właśnie Przestrzeń metryczna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa. Jeśli jest zupełna to jest zupełna. Ponadto jeśli wszystkie miary w mają ośrodkowy nośnik, wówczas zachodzi również odwrotna implikacja: jeśli jest zupełna, to jest zupełna. W szczególności jest to sytuacja, gdy jest ośrodkowa. Jeśli jest ośrodkowa i zupełna, wówczas podzbiór jest warunkowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie względem jest zwarte względem Jeśli jest ośrodkowa, to gdzie jest metryką Ky Fana, a oznacza rozkład zmiennej losowej .
Zobacz też jędrna rodzina miar metryka Radona twierdzenie Prochorowa
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa Kategoria:Teoria miary Kategoria:Geometria metryczna