mały|Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy:
Wzory skróconego mnożenia – zestaw tożsamości algebraicznych zawierających potęgi o wykładniku naturalnym oraz dodawanie i odejmowanie; wzory te zawierają wyrażenie algebraiczne takie jak: potęgi skończonych sum i różnic: różnice dwóch potęg: dla wykładników nieparzystych także sumy takich potęg:
Najprostsze przykłady to te dla wykładnika dwa: kwadrat sumy i różnicy: różnica kwadratów:
Wzory te zachodzą dla dowolnych liczb rzeczywistych, zespolonych i wszystkich innych pierścieni przemiennych, ponieważ wynikają z podstawowych własności działań jak przemienność, łączność i rozdzielność. Wzory skróconego mnożenia stosuje się w arytmetyce, algebrze i analizie; przykłady ich użycia to Paweł Kwiatkowski i Witold Sadowski, Wzory skróconego mnożenia. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-07].: przyspieszanie obliczeń, umożliwiające wykonanie pewnych działań arytmetycznych w pamięci; działania na pierwiastnikach, np.: usuwanie niewymierności z mianownika – przekształcanie odwrotności takich wyrażeń, czyli ich minus pierwszej potęgi; pierwiastkowanie ich – przekształcanie ich potęgi ułamkowej; przekształcenia równań kwadratowych i funkcji kwadratowych Szymon Charzyński, Rozpoznawanie kwadratu dwumianu w trójmianie kwadratowym, kanał Khan Academy na YouTube, 26 kwietnia 2016 [dostęp 2023-12-08]. Zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-09].; dowodzenie nierówności Justyna Cybulska, Wzory skróconego mnożenia na deser. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-08].; obliczanie granic ciągów.
Wzory te są standardowym elementem wykształcenia matematycznego na poziomie średnim; przykładowo znalazły się one w podstawie programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym Podstawa programowa kształcenia ogólnego z komentarzem. Szkoła ponadpodstawowa: liceum ogólnokształcące, technikum oraz branżowa szkoła I i II stopnia, matematyka, Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl, s. 15 [dostęp 2023-12-08]..
Wykładnik dwa – wzory z kwadratami Kwadraty sum i różnic dwóch liczb mały|Ilustracja wzoru na kwadrat różnicy dwóch liczb: Pole białego kwadratu można obliczyć, odejmując od pola dużego kwadratu inne pola.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi:
Przykłady zastosowań arytmetycznych – obliczanie Justyna Cybulska, Wzory skróconego mnożenia na deser. Zadania, zadania generatorowe, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-08].:
kwadratów liczb naturalnych:
pierwiastków kwadratowych z pierwiastników:
Kwadraty sum więcej niż dwóch liczb mały|Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy trzech liczb rzeczywistych
Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:
Wzór ten można stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Po prawej stronie wzoru wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników:
Różnice można przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np.
Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.
Różnice kwadratów mały|Graficzne uzasadnienie wzoru na różnicę kwadratów dwóch liczb rzeczywistych:
Różnica kwadratów dwóch liczb to iloczyn sumy tych liczb i ich różnicy:
Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika:
Sumy kwadratów Analogiczna suma nie rozkłada się na wyrażenia rzeczywiste, jednak można rozłożyć ją na iloczyn liczb zespolonych: gdzie to jednostka urojona.
Wykładnik trzy – wzory z sześcianami thumb|250px|Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy
Sześcian sumy i różnicy:
Suma i różnica sześcianów:
Przykład zastosowania arytmetycznego – usuwanie niewymierności z mianownika:
Wykładnik cztery Różnica czwartych potęg Różnicę czwartych potęg można obliczyć, korzystając z: tego, że czwarta potęga to kwadrat kwadratu; podanego wyżej wzoru na różnicę kwadratów.
Wynik [dostęp 2024-05-07].:
Ostatni wzór można też zapisać inaczej, mnożąc sumę kwadratów przez sumę lub różnicę :
Pierwszy z tych wzorów jest analogiczny do podanego wyżej wzoru na różnicę sześcianów. Ma też uogólnienie na dowolny wykładnik naturalny, podane niżej.
Tożsamość Sophie Germain mały|Sophie Germain (1776–1831)
Suma czwartej potęgi oraz czterokrotności czwartej potęgi zawsze jest iloczynem dwóch wyrażeń kwadratowych (stopnia drugiego):
Ta tożsamość algebraiczna znajduje zastosowania w arytmetyce – zarówno elementarnej, jak i wyższej – oraz algebrze i analizie. Z pomocą tej równości można: obliczać niektóre sumy i iloczyny, skończone lub nie Patrick Corn, Anandmay Patel, Worranat Pakornrat, Jimin Khim, Sophie Germain Identity , brilliant.org [dostęp 2024-05-08].; dowodzić, że niektóre liczby całkowite zapisane wprost lub wzorami są złożone Sophie Germain's identity , On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, oeis.org, 9 listopada 2013 [dostęp 2024-05-08].; badać rozkładalność niektórych dwumianów o współczynnikach całkowitych; rozwiązywać niektóre równania diofantyczne.
Wzory ogólne Potęgi sum i różnic Potęga naturalna sumy dwóch składników to szczególny przypadek dwumianu Newtona:
Potęga naturalna sumy dowolnej skończonej liczby składników to:
gdzie
Różnice i sumy potęg Różnica dwóch potęg tego samego stopnia naturalnego to Wzory skróconego mnożenia, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 14 września 2018 [dostęp 2023-12-08].:
Przykład – różnica piątych potęg:
Oprócz tego:
Przykład – suma piątych potęg:
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Wiktor Bartol, Wzory skróconego mnożenia, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 15 września 2017 [dostęp 2024-09-04].
Kategoria:Potęgowanie Kategoria:Tożsamości algebraiczne