mały|Nierówność Jensena przedstawiona graficznie Nierówność Jensena – nierówność między wartością funkcji wypukłej określonej dla kombinacji wypukłej pewnych argumentów a wypukłą kombinacją wartości funkcji w tych argumentach, przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki. Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensena, duńskiego matematyka i inżyniera.
Twierdzenie Dla dowolnych liczb nazywanych wagami, spełniających warunek:
dla dowolnego przedziału dowolnych liczb
i dowolnej funkcji wypukłej w prawdziwa jest nierówność:
Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.
Dowód mały|Obrazkowy dowód nierówności Jensena. Punkt będący średnią ważoną punktów znajduje się w ich otoczce wypukłej, która (z wypukłości) leży nad wykresem funkcji. Dowód indukcyjny ze względu na
Dla nierówność jest oczywista. Dla uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.
Niech Założenie indukcyjne jest następujące:
gdzie należą do przedziału oraz
Teza indukcyjna to:
gdzie należą do przedziału oraz
Niech dla oraz Bez straty ogólności można założyć, że .
Przekształcimy sumę tak, by można było zastosować do niej założenie indukcyjne oraz wypukłość . Spójrzmy na następujące wyrażenie:
,
oraz połóżmy , . W ten sposób redukujemy dwa składniki w naszej sumie do jednego, a ponieważ , to
z charakteryzacji przedziału na , tj. dla dowolnych oraz takich, że , zachodzi można do wyrażenia zastosować definicję wypukłości .
Otrzymujemy stąd szacowania
gdzie pierwszą nierówność uzyskujemy z zastosowania założenia indukcyjnego (bo na mocy 1. powyżej, oraz suma wszystkich współczynników to z założenia 1), a drugą z wypukłości .
Zauważmy, że ostatnie wyrażenie w powyższym szacowaniu jest szukaną sumą:
.
A zatem otrzymaliśmy
co kończy dowód indukcyjny.
Funkcja wklęsła Aby udowodnić nierówność gdy jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że jest funkcją wypukłą. Stąd oraz nierówności Jensena:
co jest równoważne nierówności
Uwagi W szczególności dla nierówność przyjmuje postać:
Korzystając z nierówności Jensena, można udowodnić dużą liczbę nierówności, na przykład nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.
Nierówność Jensena w rachunku prawdopodobieństwa Niech będzie funkcją wypukłą, będzie zmienną losową, oraz będą całkowalne. Wówczas dla wartości oczekiwanej nierówność ma postać:
Jeżeli ponadto jest odpowiednim σ-ciałem zdarzeń, to dla warunkowej wartości oczekiwanej nierówność ma postać:
Zobacz też nierówność równanie funkcyjne Jensena
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-05-28]. Jensen inequality , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-05-28].
J