mały|Przykład rozmaitości Calabiego-Yau, używanych m.in. w teorii strun mały|Istnieje pięć wielościanów foremnych (brył platońskich) – elementarne twierdzenie euklidesowej stereometrii, udowodnione przez Teajteta (IV w. p.n.e.) mały|Przykładowe pokrycie (tesselacja) płaszczyzny hiperbolicznej za pomocą siedmiokątów foremnych – użyty tu model to dysk Poincarégo

Geometria – jedna z głównych dziedzin matematyki; tradycyjnie i nieformalnie definiowana jako nauka o przestrzeni i jej podzbiorach zwanych figuramiGeometria, [w:] Encyklopedia Popularna PWN, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986, , s. 233.. W znaczeniu precyzyjnym i ogólnym jest to nauka badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, zwłaszcza inne niż moc zbioru czy niezmienniki topologiczneTymi pierwszymi zajmują się kombinatoryka i teoria mnogości, odpowiednio w przypadku zbiorów skończonych i nieskończonych. Jak sugeruje nazwa, niezmiennikami topologicznymi zajmuje się topologia.. W zależności od rodzaju przestrzeni i przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii.

Do XIX wieku geometria badała wyłącznie przestrzenie euklidesowe wymiaru nie większego niż trzy oraz odpowiadające im przestrzenie rzutowe. W takich przestrzeniach można zdefiniować relacje jak równoległość prostych, współliniowość punktów i wielkości jak odległość czy miara kąta, a przez to zachowujące je przekształcenia – odpowiednio afiniczne, rzutowe, izometrie i podobieństwa. Zależności te opisują geometrie afiniczna, rzutowa i euklidesowa. Ta ostatnia jest też historycznym źródłem innych pojęć jak krzywa i jej długość, a także wymiar, pole powierzchni, objętość czy krzywizna; ich uściślenie wymagało jednak metod topologii i analizy, zwłaszcza teorii miary. Tę geometrię przestrzeni euklidesowych niskich wymiarów – niezależnie od badanych niezmienników – tradycyjnie dzieli się też na planimetrię i stereometrię. Obie doczekały się własnych poddziedzin jak trygonometria, geometria sferyczna, wykreślna czy absolutna. Geometrię w tym historycznym znaczeniu można uprawiać zarówno w sposób syntetyczny („tradycyjny”), jak i powstały później analityczny – oparty na współrzędnych, zwykle kartezjańskich.

Geometria, tak jak arytmetyka, należy do najstarszych nauk i tak jak ona pozostaje wiecznie żywa. Już od swoich początków te dwie dziedziny wchodzą w nieustanne interakcje; oprócz tego geometria przyczyniła się do powstania innych dyscyplin jak algebra, analiza, teoria grafów czy topologia. Rozwinięta przez Euklidesa metoda aksjomatyczna była wzorcem dla różnych dziedzin, także fundamentalnych jak logika matematyczna i teoria mnogości. Geometria dostarczyła też problemów probabilistyce, którą finalnie oparto na pojęciu miary o geometrycznym rodowodzie. Te obszary „potomne” względem geometrii mocno wpłynęły na nią samą – jej formalizm, metody i zakres badań. Ten ostatni od czasów starożytnych bardzo się poszerzył; najpóźniej w XVII wieku oprócz ściśle rozumianych przestrzeni euklidesowych wprowadzono ich rzutowe odpowiedniki, a XIX wiek przyniósł prawdziwą eksplozję tematyki – przez rozważania wyższych wymiarów, geometrii nieuuklidesowych i obejmujących je przestrzeni Riemanna. Uogólnienia poszły jeszcze dalej, przez pojęcia rozmaitości i przestrzeni metrycznych, wykraczające poza geometrię. Wprowadzono także przestrzenie innego typu – skończone jak płaszczyzna Fana czy nawet bezpunktowe.

Geometria jest podstawą różnych nauk przyrodniczych i technicznych – między innymi fizyki z astronomią, pogranicza chemii fizycznej (krystalografia), geodezji z kartografią, budownictwa z architekturą czy inżynierii mechanicznej. Rola geometrii dosięga też innych dziedzin kultury jak sztuka – zwłaszcza sztuki wizualne – czy filozofia. Matematyk zajmujący się geometrią to geometra. Słowo to oznacza również – zwłaszcza historycznie – mierniczego związanego z geodezją, a „geometria” aż do XIX w. była synonimem całej matematyki. Geometrom sensu stricto wielokrotnie przyznawano najwyższe wyróżnienia dostępne matematykom jak Medal Fieldsa, Nagroda Abela czy – wręczany naukowcom różnych dyscyplin – Medal Copleya.

Historyczny rozwój Starożytność i średniowiecze mały|Trójkąt egipski – proste narzędzie do odmierzania kąta prostego dzięki odwrotnemu twierdzeniu Pitagorasa mały|Obrazek z XV wieku przedstawiający ludzi zajętych geometrią

Geometria – podobnie jak inne działy matematyki – wyewoluowała od badania obiektów znanych z życia codziennego, w jej wypadku kształtów. Zajmowali się nią już starożytni mieszkańcy Mezopotamii (III tysiąclecie p.n.e.) i Egiptu (II tysiąclecie p.n.e.). Znali oni podstawowe fakty z tej dziedziny jak twierdzenie Pitagorasa; już tam geometria dostarczyła tematów teorii liczb jak trójki pitagorejskie, a także przyczyniła się do prapoczątków algebry przez problem równań kwadratowych. Wtedy pojawiły się też zgrubne oszacowania liczby pi (π): 3+1/8 = 3,125 albo (4/3)4 ≈ 3,16.

Systematyczny i ściślejszy rozwój geometrii, oparty na definicjach i dowodach, nastąpił potem w starożytnej Grecji. Proces ten trwał prawie tysiąclecie, od okresu klasycznego do późnego Cesarstwa Rzymskiego. Postępy były wielorakie: najpóźniej wtedy geometria wpłynęła na fundamenty i obszar badań arytmetyki, za sprawą opisania liczb niewymiernych przez pitagorejczyków. Wymusiły one uściślenie ogólnego pojęcia wielkości liczbowej, czyli – mówiąc nowożytnym językiem – liczby rzeczywistej. Doprowadziło to też do pytań o wymierność różnych stałych jak pierwiastki liczb naturalnych, inne pierwiastniki czy liczba pi (π); w tamtym okresie rozbudowano również wiedzę o konstrukcjach klasycznych, tj. rysowaniu pewnych figur za pomocą cyrkla i linijki. Niektóre z postawionych tam problemów czekały na rozwiązanie aż do XIX wieku, kiedy zrobiono to metodami algebry i teorii liczb; za to postawiony wtedy problem Apoloniusza doczekał się licznych rozwiązań i analiz w nowożytności; między innymi na potrzeby tej dziedziny opisano wiele krzywych. Okrąg uogólniono na inne stożkowe i rozważano także konchoidy; dzieło Euklidesa pozwoliło też jasno określić sam przedmiot geometrii. Stała się ona teorią formalną (systemem dedukcyjnym), a przestrzeń euklidesową można zdefiniować właśnie jako jej przedmiot – w oderwaniu od fizyki, intuicji czy późniejszych definicji konstrukcyjnych; Archimedes antycypował nowożytną analizę przez obliczanie różnych miar – długości, pól powierzchni i objętości – dla obiektów innych niż wielokąty czy wielościany. Istotne postępy w tej dziedzinie zrobił też Pappus z Aleksandrii, a jego wyniki nazwano potem twierdzeniem Pappusa-Guldina; matematyka starogrecka to też początki geometrii sferycznej oraz trygonometrii, nazwanej tak w nowożytności.

Równolegle rozwijano geometrię w Chinach; w III w. n.e. Liu Hui obliczył liczbę pi z dokładnością wyższą niż Archimedes.

XVI i XVII wiek W XVI wieku Adriaan van Roomen podał nowe rozwiązanie starożytnego problemu Apoloniusza, jednak jego metoda wykraczała poza konstrukcje klasyczne. To samo stulecie przyniosło też opis nowej krzywej sferycznej: loksodromy, a także odwzorowania walcowego Mercatora w kartografii.

Najpóźniej w XVII wieku spleciono geometrię z algebrą przez narodziny geometrii analitycznej. Wtedy też – między innymi na potrzeby geometryczne – narodziły się podstawy analizy, a za nią geometria różniczkowa. Nowa dyscyplina doprowadziła do: geometrycznych paradoksów jak róg Gabriela (trąbka Torricellego); postępów w trygonometrii – wyrażenie funkcji trygonometrycznych przez szeregi Taylora pomogło w obliczaniu dokładniejszych tablic, a potem także w znajdowaniu tożsamości, np. wzoru Eulera.

XVII wiek to też początki właściwej geometrii rzutowej dzięki pracom Gérarda Desargues’a i Blaise’a Pascala.

XVIII wiek thumb|Tablice geometryczne z encyklopedii z 1728 roku mały|Katenoida – historycznie pierwsze rozwiązanie przykładowego zagadnienia Plateau

W tamtym stuleciu geometria podążała głównie w kierunkach wyznaczonych wcześniej – rozwijano euklidesową planimetrię i stereometrię, stosując zarówno metody klasyczne (syntetyczne), jak i nowożytne techniki algebry oraz analizy. Przykładowo: udowodnił istnienie ortocentrum w trójkącie; Carl Friedrich Gauss udowodnił konstruowalność siedemnastokąta foremnego; opisano dalsze krzywe jak krzywa Watta; dzięki postępom analizy Roger Cotes i Leonhard Euler rozwinęli trygonometrię. Wzór Eulera pozwolił wyrazić funkcje trygonometryczne za pomocą podstawowej funkcji wykładniczej (eksponensu), co pomogło w znajdowaniu dalszych tożsamości trygonometrycznych; Euler rozwiązał też pewne zagadnienie wariacyjne w stereometrii. Udowodnił, że katenoida minimalizuje pole powierzchni rozpiętych między dwoma równymi okręgami. Pytania tego typu – dla bardziej ogólnych brzegów – nazwano potem zagadnieniem Plateau; na bazie geometrii rzutowej utworzono geometrię wykreślną; postawiono i rozwiązano probabilistyczny problem igły Buffona. Jego wynik stworzył nową doświadczalną metodę przybliżania liczby pi (π) – takie obliczenia w XX wieku stały się znane jako metoda Monte Carlo.

Badania Eulera nad wielościanami doprowadziły do powstania teorii grafów, a koncepcje geometryczne zastosowano w algebrze (płaszczyzna zespolona). Johann Heinrich Lambert udowodnił niewymierność liczby pi, co było pierwszym krokiem do wykazania w XIX wieku, że kwadratura koła i rektyfikacja okręgu nie są możliwe metodami klasycznymi.

XIX wiek mały|Siedmiokąt foremny. Z twierdzenia Gaussa-Wantzela oraz prostych obliczeń wynika, że figury tej nie da się skonstruować klasycznie. To dlatego, że siedem jest liczbą nieparzystą, która nie jest iloczynem żadnych liczb Fermata (3, 5, 17...)

XIX wiek przyniósł rewolucję – z jednej strony zaczęto rozważać przestrzenie euklidesowe wyższych wymiarów, a z drugiej pojawiły się badania geometrii nieeuklidesowych jak hiperboliczna (Łobaczewskiego) i eliptyczna. Te dwa kierunki uogólnień połączono przez dużo szersze pojęcie rozmaitości Riemanna. Doprecyzowanie starych pojęć geometrii, zwłaszcza różniczkowej, a także klasyfikacja ogromu nowo rozważanych przestrzeni stworzyły topologię. Pojęcie przestrzeni stało się przez to dużo szersze od pierwotnego znaczenia, abstrakcyjne, obejmujące też np. dowolne przestrzenie metryczne czy liniowe, a wymiar niektórych z nich sięgnął nieskończoności. Poszczególnymi rodzajami przestrzeni i ich niektórymi aspektami zajęły się nauki traktowane jako odrębne od geometrii jak topologia czy algebra liniowa. Przez to geometrię zdefiniowano na nowo, w ramach programu erlangeńskiego – właśnie jako teorię niezmienników, zwłaszcza innych niż te topologiczne. Analiza niezmienników jest też podstawą badania innych obiektów matematycznych (np. przestrzenie topologiczne czy struktury algebraiczne), a wśród niezmienników mogą być pojęcia bardzo ogólne i abstrakcyjne jak punkt stały.

Geometria XIX-wieczna wydała też inne owoce: udało się rozstrzygnąć starożytne problemy konstrukcji klasycznych. Metodami algebry i teorii liczb udowodniono, że trzy wielkie problemy tego typu – trysekcja kąta, kwadratura koła i podwojenie sześcianu (problem delijski) – są nierozwiązywalne. Twierdzenie Gaussa-Wantzela podało też kryterium konstruowalności wielokątów foremnych, które w szczególności wyklucza klasyczną konstrukcję siedmiokąta foremnego. Zagadnienie konstruowalnych wielokątów foremnych zredukowano do poszukiwania liczb pierwszych wśród liczb Fermata – liczby należące do obydwu zbiorów naraz pojawiają się we wzorze na możliwe liczby boków w konstruowalnych wielokątach foremnych; David Hilbert uściślił aksjomatykę geometrii, co pozwoliło na badanie jej metodami metamatematycznymi; rozwinięto teorię figur o stałej szerokości jak trójkąt Reuleaux; m.in. udowodniono twierdzenie Barbiera o obwodzie takich kształtów; Hermann Grassmann rozwinął wielowymiarową geometrię analityczną. Był to kamień milowy w rozwoju algebry liniowej i krok ku jej ogólnej, abstrakcyjnej postaci;