mały|Wykres przykładowej funkcji kwadratowej w kartezjańskim układzie współrzędnych: Ma ona dwa miejsca zerowe (pierwiastki): Pozwala to na zapis w postaci iloczynowej – rozkład na czynniki liniowe:
Funkcja kwadratowa, funkcja stopnia drugiego – typ funkcji matematycznej o co najmniej dwóch równoważnych definicjach:
gdzie są pewnymi stałymi, przy czym Oznacza to, że do funkcji kwadratowych nie zalicza się funkcji liniowych.;
gdzie również są dowolnymi stałymi.
Pierwszy wzór jest znany jako postać ogólna funkcji kwadratowej lub trójmian kwadratowy, a drugi jako postać kanoniczna Tomasz Wójtowicz, Wzór funkcji kwadratowej, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-12-16].. Definicje te są równoważne, ponieważ pierwszą postać można zawsze przekształcić do drugiej i odwrotnie, co opisano w dalszej sekcji. Jeśli wszystkie współczynniki funkcji kwadratowej są liczbami rzeczywistymi, to: argumentem takiej funkcji może być dowolna liczba rzeczywista; wszystkie wartości takiej funkcji też są liczbami rzeczywistymiInnymi słowy: dziedziną funkcji kwadratowej może być zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a jej zbiorem wartości jest wtedy część tego zbioru. Symbolicznie: .
Taka funkcja kwadratowa jest przykładem funkcji rzeczywistej, a jej wykresem w kartezjańskim układzie współrzędnych jest parabola. Funkcje kwadratowe można też rozważać dla argumentów z innych zbiorów z działaniami dodawania i mnożeniaPrzykłady innych argumentów to liczby zespolone, hiperzespolone, dualne, podwójne, reszty z dzielenia przez ustaloną liczbę naturalną oraz macierze kwadratowe z wyrazami z tych zbiorów. Algebra abstrakcyjna bada ogólne struktury z działaniami i nazywa część takich struktur ciałami, pierścieniami lub półpierścieniami, zależnie od własności tych działań..
Zagadnienie miejsc zerowych takiej funkcji to równanie kwadratowe. Jeśli ma ono rozwiązania, to istnieje także postać iloczynowa takiej funkcji Jolanta Schilling, Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-15]. – rozkład na czynniki liniowe. W dalszej sekcji opisano ją bliżej, m.in. pokazano, że zawsze można przekształcić taką postać do dwóch pozostałych.
Uogólnienia funkcji kwadratowych to: funkcje wielomianoweOdróżnianie funkcji wielomianowej od wielomianu ma znaczenie, gdy współczynniki należą do pierścienia o niezerowej charakterystyce. wyższych stopni – funkcja kwadratowa ma stopień dwa; formy kwadratowe – można je traktować jako funkcje wielu zmiennych.
Postacie funkcji kwadratowej Ogólna (wielomianowa) i kanoniczna Postać ogólną można przekształcić do kanonicznej i odwrotnie za pomocą wzorów skróconego mnożenia, konkretniej kwadratu sumy:
co daje wzory:
Wyrażenie (delta) nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej . Z postaci ogólnej do kanonicznej można też przejść inaczej, również wykorzystując wzór na kwadrat sumy:
Postać kanoniczna pomaga opisać i narysować wykres funkcji. Przypadek zmiennej rzeczywistej opisuje odpowiednia sekcja.
Miejsca zerowe mały|Wykresy różnych funkcji kwadratowych zmiennej rzeczywistej w kartezjańskim układzie współrzędnych; różnią się liczbą miejsc zerowych przez różne znaki wyróżnika.
W dziedzinie rzeczywistej liczba miejsc zerowych takiej funkcji – zwanych też pierwiastkami – wynosi 0, 1 lub 2. Zależy to od znaku wyróżnika (), co można uzasadnić za pomocą postaci kanonicznej i jej związku z postacią ogólną:
Możliwość dalszych przekształceń w obrębie liczb rzeczywistych zależy od tego, czy prawa strona równania ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. To z kolei zależy od jej znaku, który jest taki sam, jak ten wyróżnikatę zgodność można zapisać za pomocą funkcji signum: . W przypadku nieujemnym () otrzymuje się:
Ostatecznie jeśli wyróżnik jest: dodatni (), to miejsca zerowe są dwa:
zerowy (), to miejsce zerowe jest jedno:
jest nazywane podwójnym jako pierwiastek dwukrotny wielomianu wyznaczającego funkcję; ujemny (), to nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.
W dziedzinie zespolonej rozwiązania istnieją zawsze i są dane powyższymi wzorami; w przypadku ujemnego wyróżnika () jego algebraiczne pierwiastki kwadratowe są liczbami urojonymi: . To istnienie rozwiązań dla dowolnych współczynników jest szczególnym przypadkiem zasadniczego twierdzenia algebry. Jeśli współczynniki funkcji () są przy tym rzeczywiste, to miejsca zerowe różnią się tylko znakiem części urojonej. O takich liczbach mówi się, że są względem siebie sprzężone.
Wzory Viète’a Są to wzory m.in. na sumę i iloczyn miejsc zerowych różnych funkcji; dla funkcji kwadratowej są dwa takie wzory:
Istnieje też związek różnicy miejsc zerowych z wyróżnikiem:
To wszystko pozwala odtworzyć postacie ogólną i kanoniczną z miejsc zerowych oraz współczynnika wiodącego ():
Postać iloczynowa Jeśli funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe – niekoniecznie różne – to można ją zapisać w jeszcze jednej postaci:
W dziedzinie rzeczywistej jest to możliwe, jeśli wyróżnik jest nieujemny () – wtedy jego pierwiastek kwadratowy jest rzeczywisty. W dziedzinie zespolonej jest to zawsze możliwe – jeśli wyróżnik jest ujemny (), to
gdzie jest jednostką urojoną.
Postać iloczynową można wyprowadzić z kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów ():
Postać iloczynowa umożliwia inne wyprowadzenie jednego ze wzorów na postać kanoniczną:
Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych mały|Wykresy rzeczywistych funkcji kwadratowych dla różnych wartości współczynników
Funkcja kwadratowa zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach ma wykres – w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej jest nim parabola. Jej wierzchołkiem jest punkt gdzie są dane jw., który jest zarazem ekstremum funkcji kwadratowej. Ich zmiana powoduje więc przesunięcie wykresu o wektor względem początku układu współrzędnych.
Z definicji miejsca zerowego funkcji kwadratowej wynika, że są one punktami przecięcia wykresu paraboli z osią układu. W szczególności co oznacza, że odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych (o ile istnieje choć jedno).
We układzie współrzędnych, przy zachowaniu skali: każda parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej ma oś równoległą do osi daje, iż ramiona paraboli są skierowane zgodnie ze zwrotem osi jeżeli to są one skierowane przeciwnie, zwiększanie sprawia, że wykres wydaje się bardziej „strzelisty”; jego zmniejszanie czyni wtedy wykres bardziej „rozłożystym”, zmiana powoduje zachowanie punktu przecięcia z osią przy jednoczesnym przesuwaniu paraboli zgodnie ze zwrotem jeżeli lub przeciwnie do niego, jeżeli parametr odpowiada za przesunięcie wykresu wzdłuż zgodnie z jej zwrotem, gdy lub przeciwnie do niego, gdy
Każde dwie parabole są podobne. Dokładniej, jeśli:
to skala podobieństwa paraboli będącej wykresem względem paraboli będącej wykresem jest równa:
Własności rzeczywistych funkcji kwadratowych
Niżej zakłada się rzeczywistą dziedzinę i przeciwdziedzinę:
Własności ogólne Funkcja jest parzysta wyłącznie dla nigdy nie jest nieparzysta ani okresowa; monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale po czym rośnie (maleje) w przedziale dla ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla i maksimum dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej); przez to zbiorem wartości jest przedział: dla ; dla ; wypukłość: wypukła dla i wklęsła dla (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej); punkty przegięcia: brak.
Własności analityczne Brak asymptot; ciągłość w całej dziedzinie; różniczkowalność w całej dziedzinie; kolejne pochodne:
Oznacza to, że funkcja jest gładka; całkowalność w sensie Riemanna i Lebesgue’a; funkcja pierwotna:
Przypadek dziedziny zespolonej Funkcja kwadratowa gdzie jest odwzorowaniem równokątnym (konforemnym) przekształcającym płaszczyznę zespoloną (parametryzowaną zmienną) w dwulistną płaszczyznę (parametryzowaną zmienną) Siatka izometryczna składa się z dwóch rodzin hiperbol:
Punktami stałymi tego odwzorowania są oraz .
Przykłady i zastosowania Geometria Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy). Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych. Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy). Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.
Inne działy matematyki mały|Liczby trójkątne to wartości pewnej funkcji kwadratowej.
Suma ciągu arytmetycznego jest kwadratową funkcją liczby wyrazów. Przykład to sumy kolejnych liczb naturalnych, zwane liczbami trójkątnymi. Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.
Fizyka W kinematyce: dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu; przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej. W dynamice: rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola; dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości; energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu; energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.
Zobacz też
ciąg Eulera jednorodna funkcja kwadratowa metoda Simpsona równanie dwukwadratowe zbiór Julii zbiór Mandelbrota
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Funkcja kwadratowa, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-05-16].
Nagrania kanału Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-01-15]: Piotr Stachura, Rysowanie paraboli w postaci kanonicznej – ćwiczenie, 25 sierpnia 2014; Piotr Stachura, Wykres funkcji kwadratowej: przesuwanie i skalowanie, 27 sierpnia 2014; Piotr Stachura, Dopełnienie do kwadratu – postać kanoniczna funkcji kwadratowej, 25 września 2014; Piotr Stachura, Różne postacie funkcji kwadratowej, 17 grudnia 2014; Piotr Stachura, W szponach hazardu – zadanie o prawdopodobieństwie z nierównością kwadratową, 28 marca 2015; Piotr Stachura, Komary w Białowieży – zadanie z funkcją kwadratową, 23 kwietnia 2015; Piotr Stachura, Maksimum funkcji kwadratowej – przykład, 20 grudnia 2015; Piotr Stachura, Porównywanie własności funkcji kwadratowych, 26 marca 2017; Krzysztof Kwiecień, Postać iloczynowa funkcji kwadratowej – zadanie tekstowe, 14 czerwca 2018. Krzysztof Kwiecień, Wprowadzenie do funkcji kwadratowych zapisanych w postaci wierzchołkowej (kanonicznej), 23 czerwca 2018;
Wiktor Bartol, Funkcja kwadratowa, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 15 września 2017 [dostęp 2024-09-04].
Kategoria:Rodzaje wielomianów