mały|Ilustracja złożenia dwóch funkcji mały|Diagram przemienny przedstawiający złożenie funkcji lub innych strzałek
Złożenie funkcji, superpozycja funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.
Definicja Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że: dla
Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.
Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany Dla powyższych funkcji
zatem dla dowolnego z dziedziny funkcji mamy równość:
Własności mały|Składanie funkcji nie jest przemienne – przykładowo obrót i ścinanie nie komutują, tzn. wykonanie ich w różnej kolejności daje różne wyniki
Łączność operatora składania oznacza, że czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis
Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora jest nieprzemienność. Złożenie oznacza relację: «po» «z» lub «dzięki» czy też «wskutek» lub «utworzony z» (ang. after, of, following, composed).
Tak więc złożenie nie jest tożsame z Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z Mamy wówczas a w takim przypadku na ogół różni się od funkcji
Przykład 1 Niech i
Wtedy
natomiast
Widać, iż jest inna niż
Przykład 2 Weźmy dodawanie liczb naturalnych czyli funkcję (posiada ona indywidualną notację przykładowo zamiast pisać zapisujemy ). Wówczas gdy dodajemy 3 i więcej liczb używamy składania funkcji:
Wprowadziliśmy dodatkowe oznaczenie w celu rozjaśnienia, że mamy tu do czynienia ze składaniem funkcji. W powyższym przykładzie, sposób składania polega na złożeniu funkcji dodawania samej ze sobą, gdzie kolejność składania ze względu na łączność dodawania jest dowolna tj. ten sam rezultat otrzymamy dla złożenia . Ponieważ dodawanie jest również przemienne to identyczny wynik osiągniemy dla podobnych złożeń z dowolnym układem argumentów np. .
Przykład 3
Weźmy wielomian , jest to funkcja złożona (podobnie jak w przykładzie 2) korzystajaca z dodawania , mnożenia i potęgowania, kótre oznaczymy , oraz odpowiednich regół składania tych funkcji ze sobą (wprowadzamy oznaczenia i ):
Struktura grupy mały|220px|Diagram przemienny przedstawiający łączność złożenia: Takie diagramy są używane głównie w teorii kategorii
Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.
Przykład czyli grupa symetryczna danego zbioru oznaczana również przez albo czyli grupa wszystkich bijekcji Zbiór wszystkich odwzorowań jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.
Składanie funkcji samej ze sobą Jeżeli to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj Analogicznie, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.
Dodatkowo funkcję dla której nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.
Tradycyjnie jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli dla każdego W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie
Zobacz też reguła łańcuchowa teoria kategorii układ dynamiczny
Przypisy
Linki zewnętrzne Algebra – składanie funkcji, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27]. [dostęp 2023-10-10]. Composite function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-17].
Kategoria:Działania dwuargumentowe